確率の話をしてみようa （補足１）
「ある30分間の間に子供が生まれる可能性が30分の1である時、15分間に子供が生まれる可能性はいくらか｣という問題だ。
この問題でも「くじ引き型として良い｣とすると、｢最初の15分間｣と「最後の15分間」では「分娩室の前で待っているあなたが期待する確率が2倍違う」ということになる。
この説明は間違い。モデルに問題があるため、そう簡単ではなかった。
という点についての質問があったので、補足説明をしておく。*1
「60個の箱の中にコインが入っている」という例で説明しよう。*2
まず、この箱を二つずつ30組に分ける。そうすれば、どれかの一組にコインが入っている確率は30分の1になる。
さてここで、「15分経過して子供が生まれなかった？｣とはどういう事象だろう？「自分が選んだ組の箱を一つ開けただけ｣だろうか。*3
ところが実際には「全ての組で一つの箱が開いた」事を意味しているのである。問題通りにするためには、それぞれの組の二つの箱には「最初の15分の結果」「後の15分の結果」という意味がある。「最初の15分に生まれなかった｣という事実は「あなたが選んだ一組」の中の「最初の15分の結果」ではなく、全ての「最初の15分の結果」に適用されるのだ。
この説明はおそらく納得しがたいと思われるので、場合分けを使って説明してみよう。
まず、最初に組を選んだとき、コインが入っている組を選んだ確率は30分の1である。
では、「正解の組を選んでいたとき｣一つ目の箱にコインが入っている確率はどれだけだろうか？これは60分の1ではなく、2分の1である。これが条件付き確率であることを思い出そう。
最初に外れの組を選んでいた場合には、必ず外れるので確率は0である。（より正確には、外れを選んだ可能性が30分の29、コインが入っている確率が0、掛け合わせて0である。）
結局、箱を開いてコインが入っている確率は、
となる。
さて、一つ目の箱にはコインが入っていなかったとして、次の箱にコインが入っている確率である。
最初に正解の組を選んでいた場合、一つ目の箱にコインが入っていなかったのなら、二つ目の箱には必ずコインが入っている。
では、「最初に正解の組を選んでいた」確率は30分の1、この条件でコインが入っている確率は1。すなわち、「一つ目の箱にコインが入っていなかったのなら、30分の1の確率で次の箱にコインは入っている｣ということになる。
どうしてこんな事になるか？
少し見方を変えてみると当たり前のことである。
「一つ目の箱には絶対に入っていない」という条件があるのなら、30組に計60個の箱があるとはいえ、コインが入っている確率がある箱は30個しかないということなのだ。
