確率の話をしてみよう３ （条件付き確率）
なぜ｢同程度｣と仮定した計算から「後になるほど生まれる可能性が高い」という結果が生まれるのか？
それは「後になるほど生まれる可能性が高い」という表現は厳密に言うと「それまでに子供が生まれていなかった場合、その時間帯に子供が生まれる可能性は高い｣という「条件付きの確率」などと呼ばれる値だからである。
それに対して我々が「同程度である」と仮定したのはあえていうと｢条件のつかない｣確率である。｢条件のつかない」確率は「その条件が発生する確率」と「その条件下での確率」を掛け合わせて求める。
ここからしばらくは、妊婦の話から離れて条件付き確率を説明する。
簡単な例を作ってみよう。一組そろったトランプからジョーカーやスコアカード*1を除いた52枚をスート毎に4つに分ける。*2この中からカードを一枚選んで、スペードのエースを引く可能性を考えよう。
あなたはまず、「スペードの山」がどれであるのかを当てなければならない。裏から見てもどれがどのスートなのか分からないから、当たる確率は単純に4分の1だ。
見事スペードを当てたとすると、今度は13枚の中からエースを当てなければならない。この確率は13分の1だ。
ではトランプ一揃いからスペードのエースを選ぶ確率は？52枚から一枚を選ぶので52分の1だが、これは次のような計算もできる。
この例では条件付き確率を考える意味はよく分からないだろう。ではこんな例に修正する事を考えよう。
「やり方はほぼ前回と同じ。だが実はスペードの2がなくなっていて、スペードの山は12枚しかない。ただし、山の高さは区別がつかないのでスートを選択する確率は変わらないとする。｣
確率の設問で｢但し書き｣がついているのは恒例のようなものだ。「一枚少ない山があったら分かるはずだ」というズルはなしだ。どうしても気になる人は、高さの区別がつきにくい置き方をしてあるとか、中の見えないケースに入っているとか、そういう対策がされていると考えてほしい。
さてこの場合、スペードのエースを選ぶ可能性はいくらか？スペードを当てる可能性は変わらないが、その後エースを当てる可能性は12分の1になっている。だから、
になる。51分の1ではない。ではその差はどこから現れたのか？実は「カードの山を用意した人物が12枚しかないスペードの山を作った｣事がその原因なのだ。言い換えると「スペードのエースは必ず枚数が少ない山にある」という確率の偏りを作ったことだ。一枚足りないカードを13枚の山3つと12枚の山1つにスートを確認せずに分けたとしても、「スペードのエースが12枚しかない山にあるとは限らない」という状況になる。この場合には確率はちゃんと51分の1になるのだ。
計算してみよう。スペードのエースが「13枚の山に入った確率｣は51分の39になる。多い方の山は51枚中39枚あるからだ。この状況下で「スペードのエースの入っている山を当てる確率」は変わらず4分の1。その後「スペードのエースを当てる確率」は13分の1だ。
スペードのエースが「12枚の山｣に入った確率は51分の12。「その山を当てる確率」は4分の1。「山の中からスペードのエースを当てる確率」は12分の1。
条件付き確率を発生確率と掛け合わせ、全て合計するとちゃんと51分の1になる。
