「モンティホール問題」

繰り言

別件の検索中に引っかかってきた。
以前見たときにはどうもすっきりしなかったが、今見直すととても簡単な話だった。
扉の数をnとすると
「最初に選んだ扉が正解である可能性は1/ｎ、違う扉があたりの可能性は(n-1)/n」で、これはその後の操作でも全く変わらない。但し、「違う扉の中から何枚かの外れの扉がのぞかれる」ので、「(n-1)/n」の確率が(n-1)個より少ない扉に再配分される」ということなのだろう。


主にすっきりしない点である、「なぜ最初に選んだ扉には確率は再分配されか」といえば、「司会者は最初に選んだ扉は絶対に開けない」から。「司会者が最初に選んだ扉も開けて良い」なら単に「1/(n-1)」になる。

一応場合分けすると、

  • 最初の扉が正解の場合[場合の確率1/n]:この条件下でこの扉があたりの確率1
  • 最初の扉が外れの場合[場合の確率(n-1)/n]:この条件下でこの扉があたりの確率0

合計、1/n。

  • 最初の扉が正解の場合[場合の確率1/n]:この条件下で別の一つ扉があたりの確率0
  • 最初の扉が外れの場合[場合の確率(n-1)/n]:この条件下でこの扉があたりの確率「残りの扉の数分の一」

合計、1/n　*　(n-1)/(「残りの扉の数」)

後ろのかけ算部分が必ず1より大きくなる。